Conoce las diferencias entre relaciones y funciones su uso y diferenciación en matemáticas
La conexión numérica es la relación entre los componentes de un grupo en relación al producto de dos grupos. Una función involucra la operación matemática para calcular el valor de una cantidad dependiente en función del valor de una cantidad independiente. Cada función es una relación, aunque no todas las relaciones son funciones.
Criterio para diferenciar función o relación
En matemáticas,
tanto las relaciones como las funciones son conceptos fundamentales que se utilizan para describir las relaciones entre conjuntos de elementos. Es de gran importancia comprender las diferencias entre ambos términos y saber en qué situaciones aplicar cada uno.Antes de profundizar en la regla, es necesario comprender el significado de relación y función. Una relación es una conexión o asociación entre dos o más elementos de conjuntos diferentes, mientras que una función es un tipo especial de relación en la que cada elemento del primer conjunto está relacionado con exactamente un elemento del segundo conjunto.
La regla fundamental para determinar si una relación es una función se conoce como "la regla de la verticalidad". Según esta regla, una relación es una función si y solo si cada elemento del conjunto A (dominio) está relacionado con un único elemento del conjunto B (codominio). En otras palabras, no puede haber más de una correspondencia vertical para un mismo elemento en el dominio.
Qué es una relación
Es comúnmente aceptado que todos los elementos del primer conjunto deben estar vinculados con al menos uno del segundo conjunto, sin importar si hay elementos del segundo conjunto que no estén relacionados con ninguno del primer conjunto.
Qué es una función
La relación entre dos conjuntos se caracteriza por una regla de correspondencia que establece que cada elemento del primer conjunto tiene una y solo una correspondencia en el segundo conjunto.
Si hablamos de una función suprayectiva o sobreyectiva, cada elemento del segundo conjunto tiene al menos una correspondencia en el primero, pudiendo ser más de una.
En cambio, si nos referimos a una función biyectiva, se cumple que cada elemento del primer conjunto tiene una correspondencia en el segundo y viceversa, sin repeticiones. En otras palabras, es una función inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo.
Definiciones
En el ámbito matemático, una relación se compone de un conjunto de entradas y salidas, usualmente expresado en pares ordenados (entradas, salidas). La colección de las primeras componentes de cada par se conoce como el dominio, mientras que la colección de las segundas componentes de cada par se conoce como el rango.
Un ejemplo práctico de este concepto son los siguientes conjuntos de pares ordenados, donde los primeros números corresponden a los primeros cuatro números naturales y los segundos números son el triple de los primeros:
- (1, 3)
- (2, 6)
- (3, 9)
- (4, 12)
Cada valor del dominio tiene diferentes nombres, entre ellos entrada o variable independiente, y a menudo se representa con la letra x. Por otro lado, cada valor del rango es conocido como salida o variable dependiente, y su representación común es la letra y.
Indicadores para distinguir una función de otras expresiones
Si cada valor introducido tiene una única correspondencia de salida, entonces se trata de una función. Sin embargo, si hay dos o más salidas para un mismo valor de entrada, entonces no se puede considerar como función.
Una manera de comprobar si una relación es una función es a través de la prueba de la línea en los mapas de mapeo. También se puede utilizar la prueba de la línea vertical en los gráficos.
Para aplicar la prueba de la línea en los mapas de mapeo, se aplica el siguiente criterio: si cada entrada tiene una sola línea conectada, entonces se puede afirmar que las salidas están en función de la entrada.
Entendiendo el Concepto de una Relación Matemática
Relación binaria: en matemáticas, se define como todo subconjunto de elementos relacionados entre sí de dos conjuntos diferentes. Este tipo de relación se conoce como relación entre elementos de los conjuntos A y B, y se representa por medio del producto cartesiano A x B.Para aclarar, si el conjunto A está formado por los elementos 1, 2 y 3, mientras que el conjunto B está compuesto por los elementos 4 y 5, el producto cartesiano de A x B estará compuesto por todos los pares ordenados posibles de los elementos de A y B.
Por ejemplo, si tenemos el subconjunto C = {(2,4), (3,5)}, podemos afirmar que C es una relación entre los conjuntos A y B. Esto se debe a que los elementos en cada par ordenado de C, (2,4) y (3,5), resultan de la combinación de un elemento del conjunto A y uno del conjunto B en el producto cartesiano A x B.
Entendiendo el Concepto de Función Matemática
Una función matemática de un conjunto A en un conjunto B se basa en una regla o mecanismo que conecta los elementos de A con un elemento de B.
En otras palabras, si consideramos dos variables reales x e y, podemos afirmar que y es función de x cuando a cada valor de x le corresponde un valor de y.
Al conjunto en el que x varía se conoce como dominio de la función, mientras que el conjunto en el que y varía se llama rango de la función.
Analogías entre relación y función ilustraciones prácticas
Es esencial comprender qué es una relación antes de adentrarnos en sus diferencias. En términos sencillos, una relación es una conexión o correspondencia entre elementos de dos conjuntos distintos. Por ejemplo, si tenemos los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c}, podemos establecer una relación que relaciona cada elemento de A con un elemento correspondiente de B. Esta relación podría ser representada como un conjunto de pares ordenados: {(1, a), (2, b), (3, c)}.
Sin embargo, una función es un tipo específico de relación en la que cada elemento del primer conjunto (dominio) se relaciona con exactamente un elemento del segundo conjunto (codominio). En otras palabras, una función asigna un único valor de salida a cada valor de entrada. Podemos representar una función mediante una regla o fórmula matemática. Por ejemplo, la función f(x) = 2x es una función lineal que asigna a cada número real x un valor que es el doble de x.
Dominio de una función
El diccionario de la Real Academia de la Lengua Española en Internet no ofrece una definición para el concepto matemático de dominio. Sin embargo, otras definiciones pueden ayudarnos a comprenderlo, como la de “territorio”.
Imaginemos que, dentro del “territorio” de los números reales, una función solo puede existir en cierta parte. Al intentar relacionar los números fuera de ese territorio con los de otro conjunto mediante una regla de correspondencia, nos encontramos con situaciones indefinidas en las matemáticas en general (como la división de un número distinto de cero entre cero y el logaritmo de cero en cualquier base) o al menos en los números reales (como las raíces de índice par de un número negativo o los logaritmos de cualquier base de números negativos).
De este modo, para determinar el dominio de una función, es necesario identificar sus limitaciones, es decir, aquellos números para los que la función no tiene sentido debido a alguna de las situaciones mencionadas en el párrafo anterior.
