Conoce un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas de manera sencilla y práctica

En el área de matemáticas y álgebra lineal, se hace referencia a un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales, también denominado sistema de ecuaciones lineales o simplemente sistema lineal, como una agrupación de ecuaciones de primer grado en un cuerpo definido. Un caso ilustrativo de un sistema lineal de ecuaciones es el siguiente:

Dos incógnitas dos ecuaciones conceptos fundamentales en un sistema lineal

Sistema de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales se refiere, en términos generales, a una serie de ecuaciones escritas en fila, entre llaves o sin símbolos gráficos. Se puede identificar como tal cuando no se conoce el valor de dos incógnitas XXX y YYY.

Cuando en un problema se menciona un sistema de ecuaciones, se entiende que se trata de un conjunto de ecuaciones en las cuales las incógnitas deben cumplir con todas las condiciones establecidas.

Entendiendo el concepto de una ecuación lineal

La incógnita X es un elemento esencial en la ecuación lineal, que describe una condición o propiedad que debe satisfacer en orden a cumplir con la solución. No utilizamos la palabra "condición" de manera aleatoria, sino que su significado quedará claro a continuación. La resolución de la ecuación, mediante transposición de términos y aislamiento de la X, nos lleva a obtener: X=7. En otras palabras, cuando X tiene un valor de 7, se estarán cumpliendo la propiedad o condición requerida por la ecuación. Al sustituir este valor en la ecuación, ambas partes se igualan. Un claro ejemplo de esto es la ecuación 13-4X=2X-5, en la que la incógnita X debe satisfacer...

Guía para alcanzar el éxito sin caer en la confusión

En el primer paso, aislamos la Y Y Y para facilitar el trabajo. Para evitar confusiones, vamos a escribir al lado de cada ecuación original en el plano cartesiano la correspondiente ecuación aislada. De esta manera, podremos identificar fácilmente qué ecuación es igual a la original. Es recomendable utilizar colores distintos para cada función en el plano cartesiano, de modo que la ecuación y su gráfica estén pintadas del mismo color para poder distinguirlas con facilidad. Además, es importante anotar al lado de cada recta creada la ecuación que le corresponde, para facilitar la identificación de las mismas.

¡Genial! Ahora que hemos representado gráficamente las ecuaciones, podremos encontrar la solución de manera sencilla. Recordemos que la solución de un sistema de ecuaciones son un par de X X X y Y Y Y que cumplen simultáneamente con las condiciones de las ecuaciones. ¿Podrías identificar en la gráfica qué punto cumple con ambas condiciones? ¡Efectivamente, es el punto de intersección de ambas rectas! Este punto es común a ambas ecuaciones, lo que significa que la X X X y la Y Y Y cumplen con...

En el caso de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, puede suceder que tengan un número infinito de soluciones si las rectas se superponen, que no tengan solución si las rectas son paralelas y nunca se cruzan, o que tengan una sola solución si se intersectan en un único punto. Sin embargo, no es posible que las ecuaciones se crucen en más de un punto, por lo que no puede haber 2 2 2 o 3 3 3 soluciones (a menos que las rectas se superpongan coincidiendo en todos sus puntos...).

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales en un campo algebraicoeditar

Enfoques distintos para resolver el sistema sobre un anillo

Existen múltiples enfoques para resolver un sistema de ecuaciones en un anillo. A diferencia de los métodos utilizados en cuerpos, como la regla de Cramer, los métodos para anillos son muy diferentes debido a la inexistencia de inversos multiplicativos.

Inaplicabilidad de los métodos en cuerpos

La mayoría de los métodos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones en cuerpos son inaplicables en anillos. Esto se debe a la ausencia de inversos multiplicativos en los anillos, lo cual imposibilita la utilización de métodos que requieran su existencia.

Diversidad de métodos

Afortunadamente, existen diversos métodos disponibles para resolver un sistema de ecuaciones en un anillo. Estos enfoques difieren en su complejidad y en la cantidad de cálculos requeridos, pero todos tienen en común su utilidad para resolver sistemas sobre anillos.

Adaptación necesaria

Es importante mencionar que algunos de los métodos utilizados en cuerpos pueden ser adaptados para ser aplicados en anillos, pero su implementación suele ser más compleja debido a la ausencia de inversos multiplicativos. Esta adaptación requiere un enfoque diferente y una comprensión profunda de cómo funcionan los anillos.

Introduccióneditar

Forma matricial de un sistema lineal

Sea x₁,…,,x_n un conjunto de incógnitas, a_ij∈, una serie de coeficientes y b₁,…,,b_m los términos independientes de un sistema. Podemos reescribirlo como:

Ax=b, donde:

A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. A este tipo de sistemas se les aplica el método de eliminación de Gauss-Jordan, independientemente del cuerpo al que pertenezcan los coeficientes.

La matriz A se conoce como matriz de coeficientes del sistema lineal, mientras que b es el vector de términos independientes y x es el vector de incógnitas.

Resolviendo sistemas de dos variables lineales

Una ecuación lineal con dos incógnitas se representa en forma de y=ax+by=ax+by=ax+b, pero en este caso no conocemos ni X ni Y. Es decir, debemos encontrar los valores específicos para ambas incógnitas para que la ecuación se cumpla. ¿Te sientes confundido? Veamos un ejemplo: x+y=5x+y=5x+y=5. La condición o propiedad en esta ecuación es que la suma de X y Y sea igual a 5. Por lo tanto, para resolverla, tenemos que encontrar un valor para...

Información útil

Explorando valores en el plano cartesiano

Al representar los valores de X y Y como puntos y unirlos con una línea en el plano cartesiano, podemos visualizar la ecuación correspondiente. Tras revisar el concepto de ecuaciones lineales, continuaremos para aprender acerca de los sistemas de ecuaciones.

Sistemas lineales realeseditar

Propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo de números reales

En esta sección se abordará el estudio de las características de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo R, es decir, aquellos que tienen coeficientes reales.

En los sistemas con dos incógnitas, el espacio en el que se desarollan será un plano de dos dimensiones, y cada ecuación se representará mediante una recta. La solución del sistema se encontrará en el punto (o línea) donde se cruzan todas las rectas que representan dichas ecuaciones. Sin embargo, si no hay ningún punto en el que se crucen todas las líneas, entonces el sistema es incompatible y no tendrá solución.

En el caso de un sistema con tres incógnitas, el universo será un espacio tridimensional, y cada ecuación se representará como un plano dentro de este espacio. Si todos los planos se cruzan en un único punto, entonces las coordenadas de este punto serán la solución del sistema. Pero si la intersección de todos los planos es una recta o incluso un plano, entonces el sistema tendrá infinitas soluciones. Cada una de ellas será un punto en la línea o superficie formada por la intersección de los planos.

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